均值不等式
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均值不等式

Created
Aug 29, 2021 07:22 AM
Tags
数学
代数
Author
linhuachunhong
这一次从最简单的不等式讲起:均值不等式(没有柯西).
任何一个伟大的思想,都有一个微不足道的开始.————洛谷
其中.这是最基本的均值不等式,也是基本不等式(当然,没有写二次平均和调和平均),所有均值不等式,都从这里开始.
我们可以观察一下这个式子中的特殊之处:
  1. 齐次性;
  1. 对称性(即的地位是对等的);
  1. 取等的时候.
由此,可以进行推广元的形式,即对于(),总有:
这个不等式的证明可谓五花八门,千奇百怪,就挑几个我个人比较喜欢的(或者比较常见的),欣赏一下.
[证明1](数学归纳法):
显然,当的时候原不等式成立.
下面假设当的时候成立,即有:
考虑当的时候,有:
故:
再运用的情形,就可以得到:
那么就得到了对于自然数的一个无穷子列(2的方幂),均值不等式是成立的,所以我们可以采取倒向归纳的方法,即假设对于时,有:
那么,我们可以得到:
经过简单的化简,就可以得到:
Q.E.D.
注:这是我比较喜欢的一个证明,尽管过程不是十分简洁,但是将数学归纳法用到了淋漓尽致的地步.同时,体现了数学中"同构"的思想.
[证明2](调整法):
根据齐次性,不妨设,那么只要证明:
我们设:
根据对称性,不妨设最大,最小,下面证明:
只要证明,只要证明即可.由于最大,故,同样地,,故成立.
经过有限次的调整,一定可以得到:
也就是:
Q.E.D.
注:调整法同样是很强大的一个方法,它带有归纳的思想,同时在特定的条件下可以使得过程极其简洁而优美.但是,大家在阅读的时候请注意加粗划线的部分,调整应该在有限次的操作下完成,一旦涉及无限次(如现在比较流行的"无限调整法"),用初等数学无法清楚地解释,因而我们在初等范围内认为这种方法是不正确的.
[证明3](几何法):
作函数,记.在点处的切线为.显然,,当且仅当时取等.对于每个,都有.故:
也就是,也就是.
根据的单调性,那么我们可以得到,经过简单的化简可以得到:
Q.E.D.
注:可能由于对于几何的某种特殊的感情,对于各种不等式的几何直观解释我都十分喜欢,这道题本质上只运用了函数的凹凸性和单调性,同时结合了几何直观,过程简洁易懂,而且可以运用到别的证明上.
这里参考了小蓝书上的几何法,但是别的方法大都没有选用,因为别的方法大都使用了别的不等式,而且有的引理本身就是不容易证明的;或者有的解法的计算较为繁复,缺乏美感,为了体现"微不足道的开始",我们欣赏这三种解答即可.而且,这三种方法也给出了不等式证明中的常用方法,比较有参考价值.

这是均值不等式的证明.在证明完了均值不等式后,人们就琢磨可不可以再推广一下,于是就产生了两个方向,这个我们下次再讲.

在进行推广之前,我们再补充几个比较重要的不等式:
排序不等式:
对于单调增数列,设的一个置换,那么有:
[证明]:
这就是所谓的"正序和>乱序和>逆序和",我们仅给出"正序和>乱序和"的证明:
Q.E.D
注:这是我最喜欢的排序不等式的证明,只用到了放缩,是不等式证明中最朴实,最普适,但也最难以掌握的方法.由排序不等式也可以推导出均值不等式,有兴趣的话可以看看小蓝书.
切比雪夫不等式:
对于单调增数列,那么有:
[证明]:
运用排序不等式可以得到:
相加可以得到:
就是左部,右部同理.Q.E.D.
注:切比雪夫不等式本质上也是正序和与逆序和的关系,在处理实数域上的不等关系比较有用.
琴生不等式:
我们先定义一下convex function与concave function(由于国内国外的定义,翻译之类的有不同,太虐心了,所以就用英文吧),在右图中concave function是同济版高数里的"凸函数",convex function是同济版高数里的"凹函数".
下面我们给出凹函数与凸函数的严格数学定义.
对于,对于某个区间,且函数上面有定义,满足总有,则称这个函数是在上面是convex function;若不等号反向,则称其为concave function.
notion image
注意,很多书上并不是用这种定义,而是用来定义,这是不对的,只不过方便理解,但对于那种定义,即使柯西方程的一个病态解也是符合要求的,但显然是不合理的的.
下面我们考虑琴生不等式(通常意义上的加权琴生不等式):
设函数在区间上面有定义,且为convex function,对于,那么有:
[证明]:
我们使用数学归纳法来证明.
的时候,就是定义,是显然的.
的时候,有原命题成立.
下面考虑当的时候:
注意到:
故有:
Q.E.D.
注1:这里同样运用了数学归纳法,这是一种处理方法;另外也可以像均值不等式的第一种证明方法一样,先证明自然数的一个无穷的子列(如2的方幂),然后再倒向归纳,这种方法极其有用,大部分的从二元开始的不等式都可以用这种方法证明.琴生不等式的加权形式本身极其有用,可以构造很多函数,然后几乎显然地证明一些不等式.不过加权形式似乎不在联赛大纲里,于是只能......了.
注2:想要判断一个函数为concave function或者convex function,只需要求一下它的二阶导,如果二阶导大于0,那么是convex function,反之,则为concave function.
伯努利不等式:
①设,则对于实数,当时,;
时,.
②设实数,且同号,那么有:
[证明]:
①设,则,当时,不等式显然成立,当时,原不等式也是显然成立的,下面我们只考虑非平凡的情况.
方程的解是.故是原函数的一个极值点.下面我们考虑的二阶导数.
a.当时,注意到,故是极小值点,故在题目条件下,总有,就是第一种情况.
b.第二种情况同理,懒得证了.
Q.E.D.
②太显然了,归纳法易证.
Q.E.D.
注:尽管看上去伯努利不等式并不难证,但是用途还是很广泛的,一旦需要搬上来伯努利不等式......只能说自求多福吧,至少是冬令营+的难度了(除非你想到了......).
舒尔不等式:
,那么有:
[证明]:
根据对称性,不妨设,仅给出时的证明:
Q.E.D.
注:证明已经简洁到了极致,这就是舒尔不等式的优美之处,但是在对付三元对称不等式(取等条件也要对称)的时候,效果非凡.同时,舒尔不等式是pqr方法中重要的一环,经常和pqr方法同时讲,但是这里就先略过了.

下面补充两个特别有用的恒等式,这两个恒等式都有几何直观的解释方法,这里就省略了.
拉格朗日恒等式:
,总有:
阿贝尔求和:
,定义总有:

终于把先备知识讲完了(喘口气),下面,再回到均值不等式进行推广.
首先,我们先进行一个加权推广:
,满足,那么就有:
[证明]:
我们取函数,显然是一个concave function,那么就有:
也就是说:
根据的单调性,就可以得到:
Q.E.D.
注:当所有加权都相等的时候,就是不加权的均值不等式.同时在这个证明中,我们也可以感受到加权琴生不等式的强大之处,在处理这种加性与乘性比较的不等式,我们通常可以取对数函数并结合加权琴生不等式进行证明.
大家可以看出这个推广总的来说换汤不换药,另外一种推广则更具有一般性:
幂平均不等式:
对于(),若有实数满足,那么有:
证明有点麻烦,就略了吧(求导没问题).

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